La matematica dietro la musica di Johann Sebastian Bach

Un buon brano musicale dovrebbe portare una certa dose di sorpresa senza sopraffare l'ascoltatore. I ricercatori guidati dal fisico Suman Kulkarni dell'Università della Pennsylvania hanno cercato di esprimere questo concetto intuitivo di buona musica con un modello matematico. In uno studio pubblicato nel febbraio 2024 su "Physical Review Research", hanno studiato come la struttura di un brano musicale sia legata alla percezione umana: Cosa porta le persone a ricordare determinati passaggi e quali momenti di una canzone sembrano prevedibili? Kulkarni e il suo team hanno analizzato le opere del compositore Johann Sebastian Bach utilizzando i metodi della teoria dell'informazione, riuscendo così a spiegare perché la sua musica rimane popolare dopo così tanti secoli.

"Bach mi è sembrato un po' troppo per un'opera d'arte".

"Bach è sembrato un punto di partenza ideale per questo studio, poiché le sue opere hanno una forte struttura matematica", ha dichiarato Kulkarni all'American Physical Society. I suoi brani presentano anche molte forme compositive diverse, dai preludi alle fughe ai corali. Kulkarni e il suo team ne hanno analizzati centinaia.

I fisici hanno inizialmente visualizzato i brani musicali come reti. Ogni nodo corrispondeva a una nota del brano; due note erano collegate da frecce se si susseguivano. Gli esperti hanno anche assegnato un "peso" alle frecce: più spesso una nota seguiva un'altra, più pesante diventava la freccia di collegamento. Per ogni rete così ottenuta, Kulkarni e i suoi colleghi hanno potuto calcolare un valore matematico, la cosiddetta entropia di Shannon, che quantifica il contenuto informativo della rete.

Quanta informazione c'è in un brano musicale?

I ricercatori hanno riconosciuto uno schema: le stesse forme compositive presentavano quantità simili di entropia. Ad esempio, i corali che vengono cantati nelle chiese di solito contengono poche informazioni, a differenza delle toccate e delle fughe, che presentano passaggi divertenti e sorprendenti. Secondo Kulkarni, le differenze di entropia riflettono quindi le funzioni delle varie forme compositive.

Kulkarni e il suo team volevano anche scoprire se questa complessità fosse effettivamente recepita dagli ascoltatori. Per farlo, hanno utilizzato un modello informatico che simula la percezione media di una persona. Per addestrare il modello, hanno mostrato alle persone diverse sequenze di immagini e hanno misurato quanto le impressioni fossero sorprendenti per i soggetti del test. Utilizzando questo programma, il team ha creato una nuova rete: in questo caso, le connessioni tra due nodi indicano quanto una persona percepisce ovvia - o sorprendente - la sequenza delle note corrispondenti. Poiché le persone non hanno una capacità di comprensione perfetta, la rete creata in questo modo di solito differisce da quella ottenuta direttamente dal brano musicale.

Come hanno riscontrato i ricercatori, la differenza tra le reti era minima per i brani musicali di Bach, a differenza delle reti generate casualmente, che hanno analizzato con il loro modello computerizzato. Concludono che le composizioni musicali apparentemente riducono al minimo le discrepanze tra la struttura di un brano e le percezioni umane dello stesso.

Per confermare questa tesi, tuttavia, sono necessarie analisi più accurate che tengano conto anche di altri elementi di una composizione, come il ritmo o la presenza di accordi. Ciò consentirebbe anche di confrontare brani di esecutori e stili musicali diversi. "Vorrei effettuare le stesse analisi per altri compositori e per la musica non occidentale", ha dichiarato Kulkarni a New Scientist.

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